复变函数-第一章

暑假里在床上摆烂的日子太多了，还是想要多学一些知识的。尽管选择了计算机专业，但我始终还是认为将其视作工具更好，预习的过程充满着犹豫与磨蹭。

那就学数学，那就学物理！从中学时学物理时开始解除复数，不过只用在微分方程求解中降低求导运算的难度；上大学后在微分方程、傅里叶级数种和复数又有了一些解除。实数之外的世界，又是怎么样的呢？

复变，启动！

复数

对于复数$z=x+iy$，记$x=Re(z),y=Im(z)$。

辐角

定义：在$z\ne0$的情况下，以正实轴为始边，$\theta=Argz$

主值：在$z\ne0$的情况下，将$-\pi<\theta\leqslant\pi$的$\theta_0$，称为辐角$Argz$的主值，记为$\theta_0=argz$

$$argz= \begin{cases} arctan\frac{y}{x},x>0\\ arctan\frac{y}{x}\pm\pi,x<0,y>(<)0\\ \pm\pi,x=0,y>(<)0\\ \pi,x<0,y=0 \end{cases}$$

当$z=0$时，辐角不确定

强调：事实上可以看出，辐角$Argz$并不是一个复数，而是一个集合，在$z\ne0$的情况下有无穷多种可能的解

方程

对于一个基本的方程$w^n=z$的根$w,z$为已知复数

$$w=\sqrt[n]{z}=r^{\frac{1}{n}}(cos{\frac{\theta+2k\pi}{n}}+i sin{\frac{\theta+2k\pi}{n}}),k=0,1...n-1$$

当$k=0,1...n-1$时，可以取$n$个可能的根

$$w_0=r^{\frac{1}{n}}(cos{\frac{\theta}{n}}+i sin{\frac{\theta}{n}})\\ w_1=r^{\frac{1}{n}}(cos{\frac{\theta+2\pi}{n}}+i sin{\frac{\theta+2\pi}{n}})\\ .\\ .\\ .\\ w_{n-1}=r^{\frac{1}{n}}(cos{\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}}+i sin{\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}})\\$$

当$k$取其他整数时，这些根重复出现。

可以看出：$\sqrt[n]{z}$的$n$个值就是以原点为中心，$r^{\frac{1}{n}}$为半径的圆的内接正$n$边形的顶点

例题

求解$(1+z)^5=(1-z)^5$

解答

可以直接验证：$z\ne1$

故可写：$(\frac{1+z}{1-z})^5=1$，记$w=\frac{1+z}{1-z}$，则有$w^5=1$

故可得：$w=e^{i\frac{2k\pi}{5}},k=0,1,2,3,4$

而对于$\frac{1+z}{1-z}=w$，有$z=\frac{w-1}{w+1}$

故

$$\begin{align} z=\frac{e^{i\alpha}-1}{e^{i\alpha}+1} =\frac{cos\alpha-1+isin\alpha}{cos\alpha+1+isin\alpha} =\frac{2sin\frac{\alpha}{2}(-sin{\frac{\alpha}{2}}+icos{\frac{\alpha}{2}})}{2sin\frac{\alpha}{2}(cos{\frac{\alpha}{2}}+isin{\frac{\alpha}{2}})} =itan\frac{\alpha}{2} \end{align}$$

故$z=itan\frac{k\pi}{2},k=0,1,2,3,4$

关于1、i的开根问题

在复数域中，$\sqrt{}$ 不再具有实数域中的双重非负性

$$\begin{align} \sqrt{i}=e^{i \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{2}},k=0,1\\ \sqrt{1}=e^{i \frac{0 + 2k\pi}{2}},k=0,1 \end{align}$$

也即：$\sqrt{i}=e^{i \frac{\pi}{4}},e^{i \frac{5 \pi}{4}},\sqrt{1}=\pm 1$

复平面与复球面

光滑曲线

光滑曲线：在$a \leqslant t \leqslant b$上，$x'(t)$和$y'(t)$都是连续的，且对于 $t$的每一个值，都有$[x'(t)]^2+[y'(t)]^2\ne0$

按段光滑曲线：由极端依次详解的光滑曲线组成的曲线

复平面

复平面：由$z=x+iy$中$x、y$构成的平面称作复平面

复球面

复球面是唯一的一个球：$x^2+y^2+z^2=1$，其中点$N(0,0,1)$称之为复球面的北极

下证：复平面上的点$P(x,y,z)$唯一对应于复球面上一点$P(x_1,y_1,z_1)$

对于复平面上的点，不妨设

$$\begin{cases} x_1=(1-t)x\\ y_1=(1-t)y\\ z_1=t\\ \end{cases}$$

故有$(1-t)^2x^2+(1-t)^2y^2+t^2=1$，且$|z|^2=x^2+y^2$

得$t=\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}$

故$P(\frac {z+\overline{z}} {|z|^2+1} , \frac {z-\overline{z}}{(|z|^2+1)i} , \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1})$

有P对应的$z=x+iy=\frac{x_1 +i y_1}{1-z_1}$

复球面上的点除去北极，和复平面上的点有一一对应关系

无穷

对于复数域中的无穷，规定其模长为$\infin$，实部、虚部、辐角皆无意义（没有负无穷）

$\frac{\alpha}{\infin}=0, \frac{\infin}{\alpha}=\infin, \frac{\alpha}{0}=\infin, \alpha\ne 0$

无穷远点的领域：包括无穷远点自身在内且$|z|>M>0$的所有点的集合

无穷远点的去心领域：不包括无穷远点自身在内，仅满足$|z|>M>0$，可记为$M<|z|<+\infin$