物理学家总是热衷于寻找不变量。在惯常思考的经典物理学世界中，长度是不变的，其表达式为： $\Delta l=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$ ，在不同的参考系中，如直角坐标系、极坐标系、柱坐标系中，总能够都是一样的结果。

线元确定几何，每当确定了线元时，总可以确定其他的各种变量，故此时我们需要找到一个不变的，具有线元量纲的量。

那么在相对论的世界中呢，我们直到洛伦兹变换：

$\begin{cases} x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ y'=y \\ z'=z \\ t'=\frac{t-\frac{xv}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{cases}$

此时如果再计算 $\Delta l$ ，会发现在相对论情境下，其并不是一个守恒量。

这时候，对于

$\begin{gather} \Delta S'^2=\Delta x'^2+\Delta y'^2+\Delta z'^2-{(c*\Delta t')}^2 \\={(\frac{\Delta x-v \Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})}^2+\Delta y^2+\Delta z^2-{(v*\frac{\Delta t-\frac{\Delta x v}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})}^2 \\=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-{(c*t)}^2 \\=\Delta S^2 \end{gather}$

故在相对论情况下，记 $\Delta S=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-(c\Delta t)^2}$ 为洛伦兹不变量，在闵氏几何的任意参考系中不变。

通常也会通过单位化记 $c=1$ ，使得此时 $\Delta S=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-\Delta t^2}$

世界线

时空图

世界线：在闵氏几何中，有四个坐标 $x,y,z,t$ ，可以代表物体所有的时空信息，故一个粒子在任意时刻的时空信息就是时空图上的一个点，连成一条线成为世界线。

为了进行简化（发不出思维），通常只保留 $x,t$ 坐标进行绘制时空图。

同时的相对性

对于火车问题：在地系中，闪电同时击中车位，在车中，人看到的并不同时，即为：同时的相对性

其中，M’，P’，N’为运动火车上的点

洛伦兹变换的时空观图体现

对于洛伦兹变换：

$\begin{cases} x'=\frac{x-vt} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma(x-vt) \\ y'=y \\ z'=z \\ t'=\frac{t- \frac{vx}{c^2} } {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma(t-vx) \end{cases}$

对于 $x'$ ，找到 $t'=0$ 的对应于 $\frac{t}{x}=v$ ，对于 $t'$ 对应于 $\frac{v}{x}=\frac{1}{v}$ ，即对应 $x'$ 轴和 $t'$ 轴

闵氏几何中的线长

在欧式几何中， $l^2=\Delta x^2+\Delta y^2$ ，在闵氏几何中， $l^2=|\Delta x^2 - \Delta t^2|$ 。

对于如图所示的尺子世界面，在 $S$ 系中测量长度为 $OA$ ，在 $S'$ 系中国为 $OD$ ，但是由闵氏几何的计算规则，显然有 $OD<OA$ ，者就是尺缩效应。（静止系中测量运动物体长度）

世界线长度等于固有时

对于任意物体的任意参考系，在其本征系中， $\Delta x$ 始终为0，故在其本征系中，世界线长度等于固有时，由于每个惯性系中世界线长度一样长，故在任何惯性系中，世界线的长度都等于固有时。

在相对论时空中：

$\text{d}s^2=(c\text{d}t)^2-(\text{d}l)^2=(c\text{d}t)^2$

记固有时 $\text{d}\tau=\frac{\text{d}s}{c}$ 。

对于 $AB$ ，显然 $l_1>l_2$ ，故有 $l_1$ 的运动方式所经过的固有时大于 $l_2$ 的方式：双生子佯谬。

其中 $l_1$ 为静止， $l_2$ 有速度。

讨论：相对性

依照相对运动的观点，哥哥高速远离地球，按照这么来说哥哥所经历的固有时短，这没问题，但是从相对运动的角度来讲，难道不应该有弟弟相对哥哥告诉原理，在相对哥哥静止的参考系中，弟弟所经历的固有时短，相遇时这不矛盾了吗。

问题的核心在于：惯性运动和非惯性运动的区别是绝对的，哥哥必然有一个加速-减速的过程，和弟弟呆在地球上近似惯性的运动是不同的。无论从哪个惯性系出发，哥哥弟弟两人的世界线长度不变，但是若换到哥哥的系中，是一个非惯性系，不符合狭义相对论要求的惯性参考系条件，不能够从固有时的角度进行思考。

所以要从一个惯性参考系角度进行分析，分别和相遇都是相对地球系，也就是弟弟系，认为近似于一个惯性参考系，所以才可以从固有时角度进行分析。

四维矢量

利用 $w=ict$ 对洛伦兹变换进行改写：

$\begin{cases} x'=\gamma (x+i \beta w) \\ y'=y \\ z'=z \\ w'=\gamma (w-i \beta x) \end{cases}$

定义：如果 $\vec{A}=(A_x,A_y,A_z,A_t)$ 与 $(x,y,z,w)$ 一样符合洛伦兹变换，则称为四维矢量：

$\begin{cases} A_x'=\gamma (A_x + i\beta A_t) \\ A_y'=A_y \\ A_z'=A_z \\ A_t'=\gamma(A_t -i\beta A_x) \end{cases}$

其中 $A^2=A_x^2+A_y^2+A_z^2+A_t^2$ 成为洛伦兹变换下的不变量。

对于两个四维矢量 $\vec{A},\vec{B}$ ，其点积 $\vec{A}*\vec{B}=A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z + A_t B_t$ ，也是洛伦兹变换下的不变量。

证明：

$\begin{gather} \vec{A'}*\vec{B'}=A'_x B'_x + A'_y B'_y + A'_z B'_z + A'_t B'_t \\ = \gamma^2 (A_x+i \beta A_t)(B_x+i \beta B_t)+ \gamma^2 (A_t-i \beta A_x)(B_t-i \beta B_x) +A'_yB'_y+A'_zB'_z \\ =\gamma^2 (1- \beta^2)(A_xB_x+A_tB_t)+A'_yB'_y+A'_zB'_z \\ =A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z + A_t B_t \\ =\vec{A}*\vec{B} \end{gather}$

四维速度

对于固有时 $\text{d}\tau$ ，在本征系中，时空间隔 $\text{d}s^2=(c\text{d}\tau)^2 -(\text{d}l)^2=(C\text{d}\tau)^2$ ，故 $\text{d}\tau=\frac{\text{d}s}{c}$ 。

定义四维速度：

$\begin{cases} u_x=\frac{\text{d}x}{\text{d}\tau} \\ u_y=\frac{\text{d}y}{\text{d}\tau} \\ u_z=\frac{\text{d}z}{\text{d}\tau} \\ u_x=\frac{\text{d}w}{\text{d}\tau} \end{cases}$

故由 $\frac{\text{d}t}{\text{d}\tau}=\frac{v_x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ ，可得

$\begin{gather} u_x=\frac{\text{d}x}{\text{d}t}*\frac{\text{d}t}{\text{d}\tau}=v_x*\frac{\text{d}t}{\text{d}\tau}=\frac{v_x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \\ u_y=\frac{v_y}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \\ u_z=\frac{v_z}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \\ u_t=\frac{\text{d}w}{\text{d}t}*\frac{\text{d}t}{\text{d}\tau}=\frac{ic}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{gather}$

其中 $\text{d}\tau$ 对应的时间为本征系 $S'$ ， $\vec{u}$ 对应 $S$ 系而不是本征系 $S’$ 。

故有四维速度：

$\vec{u} = (u_x,u_y,u_z,u_t)=(\gamma v_x,\gamma v_y,\gamma v_z,\gamma ic)$

且 $\vec{u}^2=u_x^2+u_y^2+u_z^2+u_t^2=-c^2$ 。

四维速度符合洛伦兹变换

在 $S$ 系中，物体以 $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$ 运动， $S'$ 系相对 $S$ 系以 $V$ 运动，则四维速度 $\vec{u'}$ 有

$\begin{cases} u_x'=\gamma_V(u_x+i \beta_V u_t) \\ u_y'=u_y \\ u_z'=u_z \\ u_t'=\gamma_V (u_t-i \beta_V u_x) \end{cases}$

故可得：

$\begin{cases} u_x'=\gamma' v_x' = \gamma_V( \gamma*v_x+i\beta_V*8c \gamma)=\gamma* \gamma_V(v_x-c\beta_V) \quad① \\ u_y'=\gamma'v_y'= \gamma v_y \quad ②\\ u_z'=\gamma' v_z'=\gamma v_z \quad ③\\ u_t'=ic \gamma'= \gamma_V (ic \gamma -i \beta_V -\gamma v_x) =i \gamma \gamma_V (c- \beta_V v_x) \quad ④ \end{cases}$

由④可得：

$\frac{\gamma_V -\gamma}{\gamma'} = \frac{1}{1- \frac{V*v_x}{c^2}}$

带入①②③，可得：

$\begin{gather} v_x'= \frac{ v_x - V} {1 - \frac{V*v_x}{c^2}} \\ v_y'=\frac{v_y}{\gamma_V (1 - \frac{V*v_x}{c^2})} \\ v_z’=\frac{v_z}{\gamma_V (1 - \frac{V*v_x}{c^2})} \\ \end{gather}$

四维动量

对于一般动量 $\vec{P}=\gamma m \vec{v}$ ，其中 $\gamma \vec{v}$ 是四维速度的前三个分量，故可以定义四维动量：

$\vec{p}=m_0\vec{u}=m_0(\gamma v_x,\gamma v_y,\gamma v_z,i \gamma_c)$

其中第四个分量为 $p_t=m_0 i \gamma_c =i\frac{E}{c}$ .

四维动量的模方为：

$\vec{p}^2=p_x^2+p_y^2+p_z^2+p_t^2=P^2-\frac{E^2}{c^2}=-m_0^2c^2$

为一个不变量。

四维动量符合洛伦兹变换

由于四维动量的前三项均为速度分量，最后一项与 $E$ 相关，故可将运动方程中的两个基本方程：

$\begin{cases} \vec{P_1}+\vec{P_2}+\vec{P_3}+...=\vec{P_1'}+\vec{P_2'}+\vec{P_3'}+... \\ E_1+E_2+E_3+...=E_1'+E_2'+E_3'+... \end{cases}$

整合为四维动量守恒方程：

$\vec{p_1}+\vec{p_2}+\vec{p_3}+...=\vec{p_1'}+\vec{p_2'}+\vec{p_3'}+...$

根据模方等进行计算。

例：利用四维动量推到光的洛伦兹变换

能量 $E=h \nu$ ，动量 $P=\frac{h}{\lambda}=\frac{E}{c}$

由于 $p$ 符合洛伦兹变换，故 $E$ 也符合洛伦兹变换，故有： $E=\gamma(E'-\beta cP_x')$ ，

其中

$P_x'=P'* \cos \theta =\frac{E' \cos \theta'}{c}$

故有：

$\nu = \gamma \nu'(1-\beta \cos \theta')=\nu' \frac{1-\beta \cos \theta'}{\sqrt{1- \beta ^2}}$

则：

$\frac{\nu'}{\nu}=\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1-\beta \cos \theta'}$

当 $\beta<<1$ 且 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，有 $\frac{\nu'}{\nu}=\sqrt{1-\beta^2}=1-\frac{1}{2} \beta^2$ ，说明横向多普勒红移是 $\beta^2$ 级的微弱效应，在经典情境中为0.